Дроби
Сложение, вычитание, умножение и деление дробей
Основное
Сложение дробей с одинаковым знаменателем
$$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$$
Пример:
$$\frac{2}{7} + \frac{3}{7} = \frac{2+3}{7} = \frac{5}{7}$$
💡 Знаменатель остаётся тем же!
Основное
Вычитание дробей с одинаковым знаменателем
$$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$$
Пример:
$$\frac{5}{9} - \frac{2}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$$
💡 Не забудь сократить дробь!
Важное
Приведение к общему знаменателю
$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}$$
Пример:
$$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$$
💡 Найди наименьшее общее кратное знаменателей!
Основное
Умножение дробей
$$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
Пример:
$$\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 7} = \frac{6}{35}$$
💡 Числитель × числитель, знаменатель × знаменатель!
Основное
Деление дробей
$$\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$
Пример:
$$\frac{3}{4} : \frac{2}{5} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2} = \frac{15}{8}$$
💡 Деление — это умножение на перевёрнутую дробь!
Полезное
Смешанное число → неправильная дробь
$$A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$$
Пример:
$$2\frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{13}{5}$$
💡 Целое × знаменатель + числитель = новый числитель
Геометрические формулы
Площадь, периметр и объём фигур
Квадрат
$$S = a^2$$
$$P = 4a$$
Пример:
a = 5 см → S = 25 см², P = 20 см
Прямоугольник
$$S = a \cdot b$$
$$P = 2(a + b)$$
Пример:
a = 6, b = 4 → S = 24, P = 20
Треугольник
$$S = \frac{a \cdot h}{2}$$
$$P = a + b + c$$
Пример:
a = 8, h = 5 → S = 20
Круг
$$S = \pi r^2$$
$$C = 2\pi r$$
Пример:
r = 3 → S ≈ 28.26, C ≈ 18.84
💡 π ≈ 3.14
Параллелепипед
$$V = a \cdot b \cdot c$$
Пример:
a=3, b=4, c=5 → V = 60
💡 Объём = длина × ширина × высота
Куб
$$V = a^3$$
$$S_{полн} = 6a^2$$
Пример:
a = 4 → V = 64, S = 96
Пропорции и проценты
Отношения, пропорции и вычисление процентов
Пропорция
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \Longleftrightarrow \quad a \cdot d = b \cdot c$$
Пример:
$$\frac{3}{5} = \frac{x}{20} \quad \Rightarrow \quad 3 \cdot 20 = 5x \quad \Rightarrow \quad x = 12$$
💡 Произведение крайних = произведение средних!
Три вида пропорции
$$a : b = c : d \quad \text{или} \quad \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{или} \quad a : c = b : d$$
💡 Все три записи равносильны!
Нахождение процента от числа
$$x = \frac{p \cdot a}{100}$$
Пример:
25% от 80 → x = 25·80/100 = 20
Число по его проценту
$$a = \frac{x \cdot 100}{p}$$
Пример:
40 — это 10% → a = 40·100/10 = 400
Какой процент составляет число A от числа B?
$$p = \frac{A \cdot 100}{B}$$
Пример:
30 от 120 → p = 30·100/120 = 25%
Нахождение числа по процентному изменению
$$a_{нов} = a_{стар} \cdot \frac{100 \pm p}{100}$$
Пример:
Цена выросла на 20%: 500·120/100 = 600
💡 «+» для увеличения, «−» для уменьшения
Алгебра и числа
Степени, среднее арифметическое, свойства действий
Степень числа
$$a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$$
$$a^1 = a \qquad a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Пример:
2⁴ = 2·2·2·2 = 16
Свойства степеней
$$a^n \cdot a^m = a^{n+m}$$
$$\frac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$$
$$(a^n)^m = a^{n \cdot m}$$
Среднее арифметическое
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$
Пример:
Оценки: 4, 5, 3, 5 → Ср. = 17/4 = 4.25
Свойства действий
$$a + b = b + a$$
$$a \cdot b = b \cdot a$$
$$(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c$$
💡 Переместительное, сочетательное и распределительное свойства
Корень квадратный
$$\sqrt{a} = x \quad \Longleftrightarrow \quad x^2 = a$$
Пример:
√25 = 5, потому что 5² = 25
Отрезок, луч, прямая
$$AB = |x_B - x_A|$$
Пример:
A(−3), B(5) → AB = |5 − (−3)| = 8
Практика
Реши примеры и проверь себя!